欧拉线定理证明及应用（欧拉线定理）

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1、方法1：（利用几何画板） 逐步减少多面体的棱数，分析V+F-E 先以简单的四面体ABCD为例分析证法。

2、 去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变。

3、因此，要研究V、E和F关系，只需去掉一个面变为平面图形，证V+F1-E=1 （1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E不变。

4、依次去掉所有的面，变为“树枝形”。

5、 （2）从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E不变，直至只剩下一条棱。

6、 以上过程V+F1-E不变，V+F1-E=1，所以加上去掉的一个面，V+F-E =2。

7、 对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。

8、因此公式对任意简单多面体都是正确的。

9、方法2：计算多面体各面内角和 设多面体顶点数V，面数F，棱数E。

10、剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图）,求所有面内角总和∑α 一方面，在原图中利用各面求内角总和。

11、 设有F个面，各面的边数为n1,n2，…，nF，各面内角总和为： ∑α = [(n1-2)·180度+(n2-2)·180度+…+(nF-2) ·180度] = (n1+n2+…+nF -2F) ·180度 =(2E-2F) ·180度 = (E-F) ·360度 （1） 另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。

12、 设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·180角，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。

13、中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·360度，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·180度。

14、 所以，多面体各面的内角总和： ∑α = (V-n)·360度+(n-2)·180度+(n-2)·180度 =（V-2）·360度（2） 由(1)(2)得： (E-F) ·360度=（V-2）·360度 所以 V+F-E=2.方法3 用拓朴学方法证明欧拉公式 图尝试一下用拓朴学方法证明关于多面体的面、棱、顶点数的欧拉公式。

15、 欧拉公式：对于任意多面体（即各面都是平面多边形并且没有洞的立体），假设F，E和V分别表示面，棱（或边），角（或顶）的个数，那末 F-E+V=2。

16、 证明 如图（图是立方体，但证明是一般的，是“拓朴”的）： （1）把多面体（图中①）看成表面是薄橡皮的中空立体。

17、 （2）去掉多面体的一个面，就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形，像图中②的样子。

18、假设F′，E′和V′分别表示这个平面图形的（简单）多边形、边和顶点的个数，我们只须证明F′-E′+V′=1。

19、 （3）对于这个平面图形，进行三角形分割，也就是说，对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线，一直到成为一些三角形为止，像图中③的样子。

20、每引进一条对角线，F′和E′各增加1，而V′却不变，所以F′-E′+V′不变。

21、因此当完全分割成三角形的时候，F′-E′+V′的值仍然没有变。

22、有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上。

23、 （4）如果某一个三角形有一边在边界上，例如图④中的△ABC，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即AC，这样也就去掉了△ABC。

24、这样F′和E′各减去1而V′不变，所以F′-E′+V′也没有变。

25、 （5）如果某一个三角形有二边在边界上，例如图⑤中的△DEF，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即DF和EF，这样就去掉△DEF。

26、这样F′减去1，E′减去2，V′减去1，因此F′-E′+V′仍没有变。

27、 （6）这样继续进行，直到只剩下一个三角形为止，像图中⑥的样子。

28、这时F′=1，E′=3，V′=3，因此F′-E′+V′=1-3+3=1。

29、 （7）因为原来图形是连在一起的，中间引进的各种变化也不破坏这事实，因此最后图形还是连在一起的，所以最后不会是分散在向外的几个三角形，像图中⑦那样。

30、 （8）如果最后是像图中⑧的样子，我们可以去掉其中的一个三角形，也就是去掉1个三角形，3个边和2个顶点。

31、因此F′-E′+V′仍然没有变。

32、 即F′-E′+V′=1 成立，于是欧拉公式： F-E+V=2 得证。

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